Python（SymPy）における特殊関数の入力

今回の記事は備忘録としてあとで参照する目的で、Pythonの数式処理ライブラリであるSymPyにおける特殊関数の呼び出し名を、個々の関数の詳細な説明は省いてリストアップしておきます。

以下全体を通して

import sympy as sp

としたうえで、SymPyの組み込み関数の呼び出しを sp と省略している点を注意しておきます。

関数の引数は

sp.var('x, y')

として x, y を用いることにします。また整数の添字は

sp.var('n, m', integer=True)

として n, m を用いることにします。

数学定数
- 円周率
- ネイピア数（自然対数の底）
- オイラー定数
- 虚数単位
- 無限大
初等関数
- 三角関数（Trigonometric function）
- 逆三角関数（Inverse trigonometric function）
- 双曲線関数（Hyperbolic function）
- 指数関数（Exponential function）
- 対数関数（Logarithmic function）
ガンマ関数（Gamma function）
ポリガンマ関数（Polygamma function）
ベータ関数（Euler Beta function）
誤差関数（Gaussian error function）
相補誤差関数（Complementary error function）
指数積分（Exponential integral）
対数積分（Logarithmic integral）
ベッセル関数（Bessel function）
- 第１種ベッセル関数 J
- 第２種ベッセル関数 Y
- 第１種変形ベッセル関数 I
- 第２種変形ベッセル関数 K
- ハンケル関数（Hankel function）
- 球ベッセル関数（spherical Bessel function）
エアリー関数（Airy function）
ゼータ関数（Zeta function）
- フルヴィッツのゼータ関数（Hurwitz zeta function）
- リーマンのゼータ関数（Riemann zeta function）
ディリクレのエータ関数（Dirichlet eta function）
多重対数関数（Polylogarithm function）
超幾何関数（Hypergeometric function）
楕円積分（Elliptic integral）
- ルジャンドルの第１種不完全楕円積分 F
- ルジャンドルの第２種不完全楕円積分 E
- ルジャンドルの第３種不完全楕円積分 Pi
- 第１種完全楕円積分
直交多項式（Orthogonal polynomials）
- ヤコビ多項式（Jacobi polynomial）
- 規格化されたヤコビ多項式
- ゲーゲンバウアー多項式（Gegenbauer polynomial）
- 第１種チェビシェフ多項式 T（Chebyshev polynomial）
- 第２種チェビシェフ多項式 U
- ルジャンドル多項式（Legendre polynomial）
- ルジャンドル陪多項式（Associated Legendre polynomial）
- エルミート多項式（Hermite polynomial）
- ラゲール多項式（Laguerre polynomial）
球面調和関数（Spherical harmonics）
ヘヴィサイド関数（Heaviside function）
ディラックのデルタ関数（Dirac delta function）

数学定数

円周率

sp.pi

ネイピア数（自然対数の底）

sp.E

オイラー定数

sp.EulerGamma

虚数単位

sp.I

無限大

sp.oo

初等関数

三角関数（Trigonometric function）

$\ \displaystyle{\sin(x)}$

sp.sin(x)

$\ \displaystyle{\cos(x)}$

sp.cos(x)

$\ \displaystyle{\tan(x)}$

sp.tan(x)

逆三角関数（Inverse trigonometric function）

$\ \displaystyle{\arcsin(x)}$

sp.asin(x)

$\ \displaystyle{\arccos(x)}$

sp.acos(x)

$\ \displaystyle{\arctan(x)}$

sp.atan(x)

双曲線関数（Hyperbolic function）

$\ \displaystyle{\sinh(x)}$

sp.sinh(x)

$\ \displaystyle{\cosh(x)}$

sp.cosh(x)

$\ \displaystyle{\tanh(x)}$

sp.tanh(x)

指数関数（Exponential function）

$\ \displaystyle{\exp(x)}$

sp.exp(x)

対数関数（Logarithmic function）

$\ \displaystyle{\log(x)}$

sp.log(x)

ガンマ関数（Gamma function）

$\ \displaystyle{\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} \mathrm{~d} t}$

sp.gamma(x)

ポリガンマ関数（Polygamma function）

$\ \displaystyle{\psi^{(n)}(x)=\frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{~d} x^{n+1}} \log \Gamma(x)}$

sp.polygamma(n, x)

ベータ関数（Euler Beta function）

$\ \displaystyle{\mathrm{B}(x, y)=\int_{0}^{1} t^{x-1}(1-t)^{y-1} \mathrm{~d} t}$

sp.beta(x,y)

誤差関数（Gaussian error function）

$\ \displaystyle{\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t}$

sp.erf(x)

相補誤差関数（Complementary error function）

$\ \displaystyle{\operatorname{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t}$

sp.erfc(x)

指数積分（Exponential integral）

$\ \displaystyle{\operatorname{Ei}(x)=\int_{-\infty}^{x} \frac{e^{t}}{t} \mathrm{~d} t}$

sp.Ei(x)

対数積分（Logarithmic integral）

$\ \displaystyle{\operatorname{li}(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{\log (t)} \mathrm{d} t}$

sp.li(x)

ベッセル関数（Bessel function）

第１種ベッセル関数 J

sp.besselj(n, x)

第２種ベッセル関数 Y

$\ \displaystyle{Y_{n}(x)=\lim _{\nu \rightarrow n} \frac{J_{\nu}(x) \cos (\pi \nu)-J_{-\nu}(x)}{\sin (\pi \nu)}}$

sp.bessely(n, x)

第１種変形ベッセル関数 I

$\ \displaystyle{I_{n}(x)=i^{-n} J_{n}(i x)}$

sp.besseli(n, x)

第２種変形ベッセル関数 K

$\ \displaystyle{K_{n}(x)=\frac{\pi}{2}\lim _{\nu \rightarrow n}\frac{I_{-\nu}(x)-I_{\nu}(x)}{\sin (\pi \nu)}}$

sp.besselk(n, x)

ハンケル関数（Hankel function）

$\ \displaystyle{H_{n}^{(1)}(x)=J_{n}(x)+i Y_{n}(x)}$

sp.hankel1(n, x)

$\ \displaystyle{H_{n}^{(2)}(x)=J_{n}(x)-i Y_{n}(x)}$

sp.hankel2(n, x)

球ベッセル関数（spherical Bessel function）

$\ \displaystyle{j_{n}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2 x}} J_{n+\frac{1}{2}}(x)}$

sp.jn(n, x)

$\ \displaystyle{y_{n}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2 x}} Y_{n+\frac{1}{2}}(x)}$

sp.yn(n, x)

エアリー関数（Airy function）

$\ \displaystyle{\mathrm{Ai}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \cos \left(\frac{t^{3}}{3}+x t\right) \mathrm{d} t}$

sp.airyai(x)

$\ \displaystyle{\operatorname{Bi}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \exp \left(-\frac{t^{3}}{3}+x t\right)+\sin \left(\frac{t^{3}}{3}+x t\right) \mathrm{d} t}$

sp.airybi(x)

ゼータ関数（Zeta function）

フルヴィッツのゼータ関数（Hurwitz zeta function）

$\ \displaystyle{\zeta(x, n)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+n)^{x}}}$

sp.zeta(x, n)

リーマンのゼータ関数（Riemann zeta function）

$\ \displaystyle{\zeta(x, 1)=\zeta(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{x}}}$

sp.zeta(x)

ディリクレのエータ関数（Dirichlet eta function）

$\ \displaystyle{\eta(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^{x}}}$

sp.dirichlet_eta(x)

多重対数関数（Polylogarithm function）

$\ \displaystyle{\mathrm{Li}_{n}(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k^{n}}}$

sp.polylog(n, x)

超幾何関数（Hypergeometric function）

$\ \displaystyle{{ }_{p} F_{q}\left(\begin{array}{c}a_{1}, \cdots, a_{p} \\ b_{1}, \cdots, b_{q}\end{array} \mid z\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(a_{1}\right)_{n} \cdots\left(a_{p}\right)_{n}}{\left(b_{1}\right)_{n} \cdots\left(b_{q}\right)_{n}} \frac{z^{n}}{n !}}$

ただしここで

$\ \displaystyle{(a)_{n}=a(a+1) \cdots(a+n-1)}$

sp.hyper( [a1, a2, ..., ap], [b1, b2, ..., bq], z)

超幾何関数については以下の記事でも取り上げています：

pianofisica.hatenablog.com

楕円積分（Elliptic integral）

ルジャンドルの第１種不完全楕円積分 F

$\ \displaystyle{F(x\,|\,m)=\int_{0}^{x} \frac{d t}{\sqrt{1-m \sin ^{2} t}}}$

sp.elliptic_f(x, m)

ルジャンドルの第２種不完全楕円積分 E

$\ \displaystyle{E(x\,|\,m)=\int_{0}^{x} d t\sqrt{1-m \sin ^{2} t}}$

sp.elliptic_e(x, m)

ルジャンドルの第３種不完全楕円積分 Pi

$\ \displaystyle{\Pi(n ; x\,|\,m)=\int_{0}^{x} \frac{d t}{\left(1-n \sin ^{2} t\right) \sqrt{1-m \sin ^{2} t}}}$

sp.elliptic_pi(n, x, m)

第１種完全楕円積分

$\ \displaystyle{K(m)=F\left(\frac{\pi}{2} \,|\, m\right)}$

sp.elliptic_k(m)

直交多項式（Orthogonal polynomials）

ヤコビ多項式（Jacobi polynomial）

$\ \displaystyle{P_{n}^{(a, b)}(x)}$

sp.var('a, b')
sp.jacobi(n, a, b, x)

規格化されたヤコビ多項式

$\ \displaystyle{\int_{-1}^{1} P_{m}^{(a,b)}(x) P_{n}^{(a,b)}(x)(1-x)^{a}(1+x)^{b} \mathrm{d} x=\delta_{m, n}}$

sp.jacobi_normalized(n, a, b, x)

ゲーゲンバウアー多項式（Gegenbauer polynomial）

$\ \displaystyle{C_{n}^{(a)}(x)}$

sp.gegenbauer(n, a, x)

第１種チェビシェフ多項式 T（Chebyshev polynomial）

$\ \displaystyle{T_{n}(x)}$

sp.chebyshevt(n, x)

第２種チェビシェフ多項式 U

$\ \displaystyle{U_{n}(x)}$

sp.chebyshevu(n, x)

ルジャンドル 多項式（Legendre polynomial）

$\ \displaystyle{P_{n}(x)}$

sp.legendre(n, x)

ルジャンドル陪多項式（Associated Legendre polynomial）

$\ \displaystyle{P^{\ m}_{n}(x)=(-1)^{m}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{m}{2}} \frac{\mathrm{d}^{m} P_{n}(x)}{\mathrm{d} x^{m}}}$

sp.assoc_legendre(n, m, x)

エルミート多項式（Hermite polynomial）

$\ \displaystyle{H_{n}(x)}$

sp.hermite(n, x)

ラゲール多項式（Laguerre polynomial）

$\ \displaystyle{L_{n}(x)}$

sp.laguerre(n, x)

球面調和関数（Spherical harmonics）

$\ \displaystyle{Y_{n}^{m}(\theta, \varphi)=\sqrt{\frac{(2 n+1)(n-m) !}{4 \pi(n+m) !}} \exp (i m \varphi) {P}_{n}^{\ m}(\cos (\theta))}$

sp.var('theta, phi')
sp.Ynm(n, m, theta, phi)

ヘヴィサイド関数（Heaviside function）

$\ \displaystyle{\theta(x)=\begin{cases}0 & \text { for } x<0 \\ \text { undefined } & \text { for } x=0 \\ 1 & \text { for } x>0\end{cases}}$

sp.Heaviside(x)

ディラックのデルタ関数（Dirac delta function）

sp.DiracDelta(x)

キーワード：Python、SymPy、特殊関数