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Gamma関数、Gaussの乗法公式

本記事ではGamma関数(第2種Euler積分ともよばれます)の定義から出発して、

Gaussの乗法公式とよばれるGamma関数の極限表示を示し、 

さらにその乗法公式を使ってGamma関数の相反公式を示します。

相反公式は引数が半整数のときのGamma関数の値を求める手がかりになります。 

 

定義(Gamma関数)

次の積分を変数  z の関数とみなすとき、この関数のことをGamma(ガンマ)関数といいます:

 \displaystyle{\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt}

Gamma関数の性質

Gamma関数は次のような特徴的な性質をもちます:

 \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)

この関係式は次のように部分積分することで得られます:

\displaystyle{\Gamma(z+1)=\int_0^\infty t^{z}e^{-t}dt\\ \quad\qquad=\left[t^{z}(-e^{-t})\right]_{t=0}^\infty-\int_0^\infty (zt^{z-1})(-e^{-t})dt\\ \quad\qquad=z\Gamma(z)}

とくに  z=n自然数) とするとき、関係式を逐次的に用いて

\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\dots=n!\,\Gamma(1)

がわかります。ここで

 \displaystyle{\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}dt=\left[-e^{-t}\right]_{t=0}^\infty=1}

より、結局

\Gamma(n+1)=n!

となります。よってGamma関数は階乗の非整数への一般化だと思えます。 

Gaussの乗法公式

Gamma関数を極限によって定義する次の表示

 \Gamma(z)=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^{z}}{z(z+1)\dots(z+n)}}

をGaussの乗法公式とよびます。

これはGamma関数の定義式で指数関数部分に極限形

 e^{-t}=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\left(1-\frac{t}{n}\right)^n

を用い、積分の上端を  n とおいて  \infty としたときの極限として

Gamma関数を以下のように表すことで得られます:

 \Gamma(z)=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\int_0^n t^{z-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^ndt =\lim_{n\to\infty} \Gamma_n(z)

ここで

 \displaystyle{\Gamma_n(z)=\int_0^n t^{z-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^ndt=\frac{n!\,n^{z}}{z(z+1)\dots(z+n)}}

です。実際、部分積分により

 \displaystyle{\Gamma_n(z)=\frac{1}{n^n}\int_0^n t^{z-1}\left(n-t\right)^ndt\\ \ \ \ \,\quad=\frac{1}{n^n}\left(\left[\frac{1}{z}t^{z}(n-t)^n\right]_{t=0}^n+\frac{n}{z}\int_0^n t^{z}\left(n-t\right)^{n-1}dt\right)\\ \ \ \ \,\quad=\frac{1}{n^n}\frac{n}{z}\int_0^n t^{z}\left(n-t\right)^{n-1}dt}

同様の計算を繰り返すことで

 \displaystyle{\Gamma_n(z)=\frac{1}{n^n}\frac{n(n-1)}{z(z+1)}\int_0^n t^{z+1}\left(n-t\right)^{n-2}dt\\ \ \ \ \,\quad=\dots=\frac{1}{n^n}\frac{n!}{z(z+1)\dots(z+n-1)}\int_0^n t^{z+n-1}dt\\ \ \ \ \,\quad=\frac{1}{n^n}\frac{n!}{z(z+1)\dots(z+n-1)}\frac{n^{z+n}}{(z+n)}\\ \ \ \ \,\quad=\frac{n!\,n^{n}}{z(z+1)\dots(z+n)}}

として示せます。

 

Gamma関数の相反公式

 z 1-z を引数とするGamma関数同士の積は

 \displaystyle{\Gamma(z)\Gamma(1-z) =\frac{\pi}{\sin(\pi z)}}

の関係をみたします。この式をGamma関数の相反公式といいます。

公式で  z=1/2 とすると

 \displaystyle{\Gamma\left(\frac12\right)^2=\pi}

により

 \displaystyle{\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi}}

であることがわかります。さらにGamma関数の性質  \Gamma(z+1)=z\Gamma(z) から

\displaystyle{\Gamma\left(\frac32\right)=\frac12\Gamma\left(\frac12\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}}

などにより、一般の半整数におけるGamma関数の特殊値がわかります。

以下では、Gamma関数の相反公式の証明を見ていきます。

まず、本記事内では解説しないですが  \cos(xz) のFourier級数展開が

 \displaystyle{\cos(xz)=\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}-\frac{2z\sin(\pi z)}{\pi}\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\cos(nx)}{n^2-z^2}}

で与えられるという事実を用います。

ここで  x=\pi とすると  \cos(\pi n)=(-1)^n より

 \displaystyle{\cos(\pi z)=\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}-\frac{2z\sin(\pi z)}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2-z^2}}

この式の両辺に  \pi を掛け、 \sin(\pi z) で割ると

 \displaystyle{\pi\frac{\cos(\pi z)}{\sin(\pi z)}-\frac{1}{z}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{2z}{n^2-z^2}}

となります。ただし  1/z の項を右辺から左辺に移項しました。

さらに両辺を  z について  (\epsilon,z)区間積分すると

 \displaystyle{\log(\sin(\pi z))-\log(\sin(\pi \epsilon))-\log{z}+\log\epsilon\\\qquad=\sum_{n=1}^\infty\log(n^2-z^2)-\sum_{n=1}^\infty\log(n^2-\epsilon^2)}

ここで  \epsilon が十分に小さいときに

 \sin(\pi \epsilon)\sim \pi \epsilon と近似できることに注意すると

 \displaystyle{\lim_{\epsilon\to0}\left(-\log(\sin(\pi \epsilon))+\log\epsilon\right)=-\log \pi}

より  \epsilon \to 0 の極限で

 \displaystyle{\log(\sin(\pi z))-\log{z}-\log\pi\\\qquad=\sum_{n=1}^\infty\log\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)=\log\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}

したがって

 \displaystyle{\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}

を得ます。 

さいごにGaussの乗法公式から

 \displaystyle{\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^{z}}{z(z+1)\dots(z+n)}\frac{n!\,n^{1-z}}{(1-z)(2-z)\dots(n+1-z)}\\\qquad\qquad\ \, =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{z(n+1-z)}\cdot\frac{(n!)^2}{(1^2-z^2)(2^2-z^2)\dots(n^2-z^2)}\\\qquad\qquad\ \, =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{z\left(1+\frac{1-z}{n}\right)}\cdot \frac{1}{\left(1-\frac{z^2}{1^2}\right)\left(1-\frac{z^2}{2^2}\right)\dots\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)} \\\qquad\qquad\ \, =\frac{1}{z\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}} 

最右辺に上で示した式を用いてGamma関数の相反公式が得られます。

 

 

キーワード:特殊関数、Gamma関数、Gaussの乗法公式、相反公式