Wallisの公式、Gamma関数の倍数公式

pianofisica.hatenablog.com

ではGamma関数の定義からはじめて、いくつかの公式：

Gamma関数の漸化式

$\displaystyle{\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)}$

とくに $z=n$ （自然数）とすると

$\Gamma(n+1)=n!$

となること、Gaussの乗法公式

$\Gamma(z)=\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^{z}}{z(z+1)\dots(z+n)}}$

や相反公式

$\displaystyle{\Gamma(z)\Gamma(1-z) =\frac{\pi}{\sin(\pi z)}}$

を示しました。とくに相反公式で $z=1/2$ とすれば

$\displaystyle{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}}$

となります。

さて、この特殊値と上の漸化式から半整数値を引数とするとき

$\displaystyle{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\left(n-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(n-\frac{1}{2}\right)\\\qquad\qquad=\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\Gamma\left(n-\frac{3}{2}\right)\\\qquad\qquad=\dots=\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\dots\frac32\frac12\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\\\qquad\qquad=\frac{(2n-1)!!}{2^{n}}\sqrt{\pi}}$

となることがわかります。さらに $1=(2n)!!/(2n)!!$ また $(2n)!!=2^n\,n!$ を使うと

$\displaystyle{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!!}{2^n\,n!}\cdot\frac{(2n-1)!!}{2^{n}}\sqrt{\pi}=\frac{(2n)!}{2^{2n}\,n!}\sqrt{\pi}}$

とも表せます。

今回の記事では、これらの結果を使ってGamma関数をさらに調べていきます。

Wallisの公式
Gamma関数の倍数公式

Wallisの公式

$\displaystyle{\sqrt{\frac{\pi}{2}} =\lim_{n\to\infty}\,\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!\sqrt{2n}}}$

この公式はGamma関数の相反公式を示す途中で使った

$\displaystyle{\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}$

から示せます。この式で $z=1/2$ として両辺の逆数をとった

$\displaystyle{\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^\infty\frac{(2n)^2}{(2n)^2-1}=\prod_{n=1}^\infty\frac{2n}{2n-1}\frac{2n}{2n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!!^2}{(2n-1)!!^2}\frac{1}{2n+1}}$

から

$\displaystyle{\sqrt{\frac{\pi}{2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!\sqrt{2n}}}$

を得ます。さいごに $1=(2n)!!/(2n)!!$ と $(2n)!!=2^n\,n!$ を使って

$\displaystyle{\Gamma\left(n+1/2\right)}$ と同様の式変形をしてWallisの公式が得られます。

Gamma関数の倍数公式

Gamma関数の引数を２倍にしたとき

$\displaystyle{\Gamma(2z)=\frac{2^{2z}}{2\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac12\right)}$

の関係が成り立ちます。この式はGamma関数の倍数公式とよばれます。

以下ではGamma関数の倍数公式を示していきます。

まず、Gaussの公式から

$\displaystyle{\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac12\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{n!\,n^{z}}{z(z+1)\dots(z+n)}\cdot \frac{n!\,n^{z+\frac12}}{\left(z+\frac12\right)\left(z+\frac32\right)\dots\left(z+\frac{2n+1}2\right)}\\\qquad\qquad\quad\ \ =\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}\,n!\,n^{z}}{2z(2z+2)\dots(2z+2n)}\cdot \frac{2^n\,n!\,n^{z+\frac12}}{\left(2z+1\right)\left(2z+3\right)\dots\left(2z+2n-1\right)\left(z+\frac{2n+1}2\right)}\\\qquad\qquad\quad\ \ =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2z}}{2z(2z+1)\dots(2z+2n-1)(2z+2n)}\cdot 2^{2n}(n!)^2 \cdot \frac{2\sqrt{n}}{\left(z+\frac{2n+1}2\right)}}$

さらに分母・分子に適当な因子を掛けて整理すると

$\displaystyle{\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac12\right) =\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!\,(2n)^{2z}} {2z\left(2z+1\right)\dots(2z+2n)} \cdot\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n)!\sqrt{2n}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{2^{2z}}}$

となります。さいごに、再びGaussの公式を今度は逆に、そしてWallisの公式を使って

$\displaystyle{\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac12\right) =\Gamma(2z)\cdot\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{2^{2z}}=\frac{2\sqrt{\pi}}{2^{2z}}\Gamma(2z) }$

によりGamma関数の倍数公式が得られます。

キーワード： Gamma関数、Euler積分、Wallisの公式、倍数公式