Maximaでベクトル解析その２（勾配、回転、発散）

数学の具体的な計算にMaximaを使って、数学もMaximaも同時に学んでしまいましょう。今回はMaximaを使ってベクトル解析をしてみたいと思います。微分演算子 $\nabla$ を使ったベクトルの演算を定義し、その公式をいくつかみてみます。また、それらの演算や公式の微分形式における意味について解説します。

Maximaのごく基本的な使い方については以下の記事を参照してください：

pianofisica.hatenablog.com

また、Maximaでベクトルの内積や外積を入力する方法は

pianofisica.hatenablog.com

を参考にしてみてください。

勾配（gradient）
- 外微分（exterior derivative）
方向微分
回転（rotation または curl）
- ウェッジ積（wedge product）
発散（divergence）
ラプラシアン（Laplacian）
- ホッジ作用素（Hodge star operator）
ベクトル解析の公式

勾配（gradient）

勾配ベクトル

$\displaystyle{{\rm grad}\ f=\vec{\nabla}f=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{array}\right)}$

をMaximaに入力するには

depends([f],[x,y,z])$
grad(f):=matrix([diff(f,x)],[diff(f,y)],[diff(f,z)])$

とします。たとえば $f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)/2$ の場合には

grad((x^2+y^2+z^2)/2);

により

$\displaystyle{{\rm grad}\left( \frac{x^2+y^2+z^2}{2}\right)=\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z \end{array}\right)}$

と計算されます。

外微分（exterior derivative）

ちなみに、勾配 ${\rm grad}\ f$ というのは微分形式の言葉でいうと、

０-形式（関数） $f$ に外微分 $d$ を作用させた

$\displaystyle{d\,f=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz }$

の各成分です。

微分形式の入門としては、東京大学出版会の『多様体の基礎』（松本）が読みやすくておすすめです：

<br />

方向微分

ベクトル解析ではあまり見かけませんが、関数 $f$ をベクトル $\vec{V}$ の方向に偏微分した時の偏微分係数は

$\displaystyle{(\vec{V}\cdot\vec{\nabla})\ f=V_x\frac{\partial f}{\partial x} +V_y \frac{\partial f}{\partial y} +V_z \frac{\partial f}{\partial z} }$

によって計算できます：

inn(a,b):=transpose(a).b$
depends([Vx,Vy,Vz],[x,y,z])$
V:matrix([Vx],[Vy],[Vz])$
dirder(V,f):=inn(V,grad(f))$

たとえば $f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)/2$ を $\vec{V}={}^t(1,1,0)$ 方向に偏微分すると

dirder(matrix([1],[1],[0]), (x^2+y^2+z^2)/2);

より、その偏微分係数は $x+y$ と求まります。

回転（rotation または curl）

$\displaystyle{{\rm rot}\ \vec{V}=\vec{\nabla}\times \vec{V}=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial V_z}{\partial y} -\frac{\partial V_y}{\partial z} \\ \frac{\partial V_x}{\partial z} -\frac{\partial V_z}{\partial x} \\ \frac{\partial V_y}{\partial x} -\frac{\partial V_x}{\partial y} \end{array}\right)}$

rot(V):=matrix(
[diff(V[3][1],y)-diff(V[2][1],z)], 
[diff(V[1][1],z)-diff(V[3][1],x)], 
[diff(V[2][1],x)-diff(V[1][1],y)])$

たとえば $U={}^t(xz,zy,yx)$ と選ぶとその回転は

rot(matrix([x*z],[z*y],[y*x]));

により ${\rm rot}\ \vec{U}={}^t(x-y,x-y,0)$ と計算されます。

また別なベクトル場として $V={}^t(-y,x,0)$ の回転をとってみると

rot(matrix([-y],[x],[0]));

より ${\rm rot}\ \vec{V}={}^t(0,0,2)$ と求まります。

さらに、ベクトル場として $W={}^t(x,y,0)$ を選ぶと

rot(matrix([x],[y],[0]));

より ${\rm rot}\ \vec{W}={}^t(0,0,0)$ となります。

ちなみに、回転 ${\rm rot}\vec{V}$ は、微分形式の言葉でいうと１-形式 $V$

$\displaystyle{V=V_x\,dx+V_y\,dy+V_z\,dz }$

に外微分 $d$ を作用させた

$\displaystyle{dV=dV_x\wedge dx+dV_y\wedge dy+dV_z\wedge dz \\\quad =\left(\frac{\partial V_x}{\partial x}dx+\frac{\partial V_x}{\partial y}dy+\frac{\partial V_x}{\partial z}\right)\wedge dx \\\qquad+\left(\frac{\partial V_y}{\partial x}dx+\frac{\partial V_y}{\partial y}dy+\frac{\partial V_y}{\partial z}dz\right)\wedge dy+\left(\frac{\partial V_z}{\partial x}dx+\frac{\partial V_z}{\partial y}dy+\frac{\partial V_z}{\partial z}dz\right)\wedge dz \\\quad =\left(\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}\right)dy\wedge dz +\left(\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}\right)dz\wedge dx +\left(\frac{\partial V_y}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}\right)dx\wedge dy }$

の各成分です。ここで $\wedge$ はウェッジ積というもので

ウェッジ積（wedge product）

$dx^i\wedge dx^j=-dx^j \wedge dx^i$

という性質をもった反対称な積です。高次の積についても同様に

$dx^i\wedge dx^j\wedge dx^k=-dx^j \wedge dx^i\wedge dx^k=-dx^i\wedge dx^k\wedge dx^j$

などです。また、積は線型性

$\alpha \wedge (c_1 \beta_1+c_2 \beta_2)=c_1\alpha\wedge\beta_1+c_2\alpha\wedge\beta_2$

をみたすものと定義します。ここで $c_1$ と $c_2$ は０-形式（関数または定数）とします。

発散（divergence）

$\displaystyle{{\rm div} \vec{V}=\vec{\nabla}\cdot\vec{V}=\frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z} }$

div(V):=diff(V[1][1],x)+diff(V[2][1],y)+diff(V[3][1],z)$

たとえば $V={}^t(x-y,x-y,0)$ を選ぶと、その発散は

div(matrix([x-y],[x-y],[0]));

より ${\rm div}\ \vec{V}=0$ と計算されます。

発散 ${\rm div}\vec{V}$ は、微分形式の言葉でいうと２-形式 $V$

$\displaystyle{V=V_x\,dy\wedge dz +V_y\,dz \wedge dx +V_z\,dx\wedge dy }$

に外微分 $d$ を作用させた

$\displaystyle{dV=dV_x\wedge dy\wedge dz +dV_y\wedge dz \wedge dx +dV_z\wedge dx\wedge dy \\\quad = \left(\frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z}\right) dx\wedge dy\wedge dz}$

の成分です。

ラプラシアン（Laplacian）

$\displaystyle{\triangle\ f={\rm div}\ ({\rm grad}\ f)=\vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}\ f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} }$

Lap(f):=div(grad(f))$

この演算子をここまでに見てきた微分形式の言葉でいうと、

まず、 ${\rm grad}\ f$ というのは、０-形式 $f$ に外微分をしたものです。

ここではそのあと発散をとっているわけですが、０-形式の外微分は１-形式なので、

２-形式の外微分として表される発散の演算はできません。

そこでホッジ作用素 $*$ という演算が導入されて、それは

ホッジ作用素（Hodge star operator）

$*1=dx\wedge dy\wedge dz \\ * dx=dy\wedge dz \quad * dy=dz\wedge dx \quad * dz=dx\wedge dy\\ * dy\wedge dz =dx \quad *dz\wedge d=dy \quad *dx\wedge dy=dz \\ * dx\wedge dy\wedge dz =1$

と定義し、それを線形に拡張して定義されます。これにより１-形式の

$\displaystyle{d\,f=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz }$

はホッジ作用素により

$\displaystyle{* d\,f=\frac{\partial f}{\partial x}dy\wedge dz+\frac{\partial f}{\partial y}dz\wedge dx+\frac{\partial f}{\partial z}dx\wedge dy}$

という２-形式になります。ここで外微分をとると

$\displaystyle{d* d\,f=\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}\right)dx\wedge dy\wedge dz}$

より、その成分は確かにラプラシアンになっていることがわかります。

最後に０-形式に戻すために、もう一度ホッジ作用素を作用させて

$\displaystyle{*d* d\,f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}}$

を得ます。逆にいうと、微分形式の言葉で０-形式上のラプラシアンは $*d*d$ で定義されます。

さらに、ホッジ作用素を使うと、２-形式

$\displaystyle{V_2=V_x\,dy\wedge dz +V_y\,dz \wedge dx +V_z\,dx\wedge dy }$

は１-形式

$\displaystyle{V_1=V_x\,dx+V_y\,dy+V_z\,dz }$

のホッジ双対： $V_2=*\,V_1$ であることがわかります。

ちなみに、極座標でラプラシアンを表す方法を紹介しているのが次の記事です：

pianofisica.hatenablog.com

ベクトル解析の公式

裳華房の『解析学解論』（矢野・石原）は、ベクトル解析（だけでなく、常微分方程式、複素解析、フーリエ解析）のエッセンスが要領よくまとめられ、豊富な練習問題が載っていて、理工系学部生におすすめです：

<br />

手計算でテキストをフォローできるようになることも必要ですが、Maximaを使って問題を解いてみるのも、Maximaの使い方の練習問題としても有用です。

上で導入したベクトルの演算に対して以下の公式が成り立ちます：

その１

$\displaystyle{{\rm rot}({\rm grad}\ f)=\vec{\nabla}\times(\vec{\nabla} f)=0 }$

rot(grad(f));

この公式は、微分形式の言葉でいえば０-形式 $f$ に外微分 $d$ を２回続けて作用させると

恒等的にゼロであるということを表しています：

$d^2\ f=0$

その２

$\displaystyle{{\rm div}({\rm rot} \vec{V})=\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla} \times \vec{V})=0 }$

div(rot(V));

この公式を微分形式の言葉でいいかえると１-形式 $V$

$\displaystyle{V=V_x\,dx+V_y\,dy+V_z\,dz }$

に外微分 $d$ を２回続けて作用させると恒等的にゼロであることを示しています：

$d^2\ V=0$

その３

$\displaystyle{{\rm rot}({\rm rot} \vec{V})={\rm grad}({\rm div}\vec{V})-\triangle \vec{V} }$

rot(rot(V))-grad(div(V))+Lap(V);

この公式を少し整理した

$\displaystyle{{\rm grad}({\rm div}\vec{V})-{\rm rot}({\rm rot} \vec{V})=\triangle \vec{V} }$

ですが、これは微分形式の言葉でいうと２-形式

$\displaystyle{V=V_x\,dy\wedge dz +V_y\,dz \wedge dx +V_z\,dx\wedge dy }$

のラプラシアンの定義そのものです：

$*\,d*d-d*d*=\triangle$

ここで $k$ -形式に作用する余微分作用素

余微分作用素（codifferential）

$\delta=(-1)^k*d*$

を導入すると、 $k$ -形式のラプラシアンが一般に

$d\delta+\delta d=\pm\triangle$

（ $\pm$ は定義の揺れによります）と定義されます。

その４

$\displaystyle{{\rm rot} (\ f\vec{V})=f{\rm rot}\vec{V} + ({\rm grad}\ f)\times \vec{V} }$

ext(a,b):=matrix(
[a[2][1]*b[3][1]-a[3][1]*b[2][1]],
[a[3][1]*b[1][1]-a[1][1]*b[3][1]],
[a[1][1]*b[2][1]-a[2][1]*b[1][1]])$
expand(rot(f*V)-f*rot(V)-ext(grad(f),V));

その５

$\displaystyle{{\rm div} (\ f\vec{V})=f{\rm div}\vec{V} + ({\rm grad}\ f)\cdot \vec{V} }$

expand(div(f*V)-f*div(V)-inn(grad(f),V));

公式その４、その５はいずれも外微分のLeibniz則

$d(\, f \alpha)=f d\alpha+df\wedge \alpha$

を表しています。

キーワード：Maxima、ベクトル解析、微分形式