pianofisica

Mathematics & Physics, Maxima, a bit Python & Wolfram, and Arts

Jacobiの楕円関数

今回はJacobiの楕円関数についてまとめます。

sn関数、cn関数、dn関数の定義から始めて、

それらの加法定理、導関数微分方程式などをみていきます。



三角関数

楕円関数は三角関数のある種の拡張を与えます。そこで、三角関数について簡単に復習しておきます。

正弦関数(sin)

まず、 u の関数  x=\sin(u) u について微分して

 \displaystyle{\frac{dx}{du}=\cos(u)=\sqrt{1-\sin^2(u)}}

より、逆数をとって

 \displaystyle{\frac{du}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}

から、両辺を  x について積分すると

 \displaystyle{u=\int_0^x \frac{d\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}}

という等式を得ます。いま  u=\sin^{-1}(x) より

 \displaystyle{\sin^{-1}(x)=\int_0^x \frac{d\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}}

です。ここでは正弦関数の性質を既知として積分等式を導いたのですが、

見方を変えれば、この右辺の積分で定まる関数

 \displaystyle{u=f(x)=\int_0^x \frac{d\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}}

逆関数  x=f^{-1}(u) のことを正弦関数と呼んでいるとも思えます。

余弦関数(cos)

余弦関数は正弦関数を用いて

 \cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)}

によって定義される、と思えます。



定義

sn関数

さて、三角関数と楕円関数の関係ですが、具体的にいうと、正弦関数の逆関数

 \displaystyle{\sin^{-1}(x)=\int_0^x \frac{d\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}}

によって定義されると思えたわけですが、

Jacobiの楕円関数のうちのsn関数と呼ばれる関数の逆関数

 {\displaystyle{u={\rm sn}^{-1}(x,k^2)=\int^x_0 \frac{d\xi}{\sqrt{(1-\xi^2)(1-k^2\xi^2)}}}}

によって定義されます。

両者の定義を見比べてわかるように、 k=0 とすれば後者は前者に一致します。

つまり

 \displaystyle{{\rm sn}^{-1}(x,0)=\sin^{-1}(x)}

すなわち

 \displaystyle{{\rm sn}(u,0)=\sin(u)}

です。このパラメタ  k のことをJacobiの楕円関数の母数と呼びます。また  k=1 とすると

 \displaystyle{{\rm sn}^{-1}(x,1)=\int^x_0 \frac{d\xi}{1-\xi^2}\\ \qquad\quad\ \,=\frac{1}{2}\int^x_0 \left(\frac{1}{1-\xi}+\frac{1}{1+\xi}\right)d\xi \\ \qquad\quad\ \,=\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}

より、 u={\rm sn}^{-1}(x,1) とおいて

 \displaystyle{\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2u=\log\left(e^{2u}\right)}

から

 \displaystyle{\frac{1+x}{1-x}=e^{2u}}

この式を  x について解くと:

solve((1+x)/(1-x)=exp(2*u), x);

 \displaystyle{x=\frac{e^{2u}-1}{e^{2u}+1}=\frac{e^{u}-e^{-u}}{e^{u}+e^{-u}}=\frac{\sinh(u)}{\cosh(u)}=\tanh(u)}

よって

 \displaystyle{{\rm sn}^{-1}(x,1)=u=\tanh^{-1}(x)}

すなわち

 \displaystyle{{\rm sn}(u,1)=\tanh(u)}

がわかります。

以上より、sn関数   \displaystyle{{\rm sn}(u,k^2)} はパラメタ  0\leq k\leq 1 によって

 \sin(u) \tanh(u) を連続的に補間するような関数であることがわかります。

cn関数

次に、三角関数 \cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)} として余弦関数を定義したのと同様に

 \displaystyle{{\rm cn}(u,k^2)=\sqrt{1-{\rm sn}^2(u,k^2)}}

を定義します。sn関数の性質から

 \displaystyle{{\rm cn}(u,0)=\sqrt{1-{\rm sn}^2(u,0)}=\sqrt{1-\sin^2(u)}}

より

 \displaystyle{{\rm cn}(u,0)=\cos(u)}

また

 \displaystyle{{\rm cn}(u,1)=\sqrt{1-{\rm sn}^2(u,1)}=\sqrt{1-\tanh^2(u)}}

より

 \displaystyle{{\rm cn}(u,1)=\frac{1}{\cosh(u)}}

がわかります。

dn関数

母数  k を含んだ余弦関数の拡張の亜種として

 \displaystyle{{\rm dn}(u,k^2)=\sqrt{1-k^2{\rm sn}^2(u,k^2)}}

を定義します。定義から

 \displaystyle{{\rm dn}(u,0)=1}

また

 \displaystyle{{\rm dn}(u,1)={\rm cn}(u,1)=\frac{1}{\cosh(u)}}

です。

以上がJacobiの楕円関数の、sn関数、cn関数、dn関数と呼ばれるものの定義です。

以下では、これらの関数の性質をもう少し詳しくみていきます。



加法定理

三角関数を拡張したようなものである楕円関数には、加法定理に相当する公式があります。

それを証明していくのですが、ウォーミングアップとして以下の線形な関数

 \displaystyle{u={\rm id}^{-1}(x)=\int^x_0 d\xi}

の"加法定理"をみてみましょう。証明のテクニックは楕円関数の場合と全く同様です。

いま仰々しく  {\rm id}^{-1} と書いていますが、

要は  {\rm id}^{-1}(x)=x={\rm id}(x) という恒等関数のことで、その"加法定理"とはつまり"公式"

 \displaystyle{{\rm id}(x+y)={\rm id}(x)+{\rm id}(y)}

のことです。

線形な関数の"加法定理"

さて、 \displaystyle{u={\rm id}^{-1}(x),\ v={\rm id}^{-1}(y),\ w={\rm id}^{-1}(z)} とし、関係式

 {\rm (A.1)} \quad \displaystyle{\int^x_0 d\xi + \int^y_0 d\eta=\int^z_0 d\zeta}

をみたすような  z=z(x,y) を求めてみましょう。もしこのような  z=z(x,y) が求まれば

 u+v=w={\rm id}^{-1}(z)

より

 {\rm id}(u+v)=z(x,y)=z({\rm id}(u),{\rm id}(v))

によって関数  {\rm id} の"加法定理"が求められるはずです。

さて、いま微小変位  x+\delta x,\ y+\delta y をとったとき、

 {\rm (A.1)} 右辺の  z を増加させないような場合を考えてみましょう:

 {\rm (A.2)} \quad \displaystyle{\int^{x+\delta x}_0 d\xi + \int^{y+\delta y}_0 d\eta=\int^z_0 d\zeta}

 {\rm (A.2)} から式  {\rm (A.1)} を引き算して、 \delta x, \ \delta y が微小であることを用いると

\displaystyle{ 0=\int^{x+\delta x}_x dx + \int^{y+\delta y}_y dy=\delta x+\delta y}

となります。このような変位を実現する1パラメタ  t のフローは

 \displaystyle{ \delta x=\delta t, \quad \delta y=-\delta t}

で与えられます。 t-フローの方程式は

 \displaystyle{ \frac{dx}{dt}=1, \quad \frac{dy}{dt}=-1}

で与えられます。すると

 \displaystyle{ \frac{d}{dt}(x+y)=0}

となって、 x+y という量が  t-フローのもとで不変な量であることがわかります。

また、 t-フローの構成から

 \displaystyle{ \frac{dz}{dt}=0}

であることに注意すると、一般に

 \displaystyle{ x+y=f(z)}

と書けることがわかります。ところが式  {\rm (A.1)} y=0 とおくと  x=z です:

 \displaystyle{z=x=f(z)}

等式が恒等的に成り立つためには  f={\rm id} が要請されますから、結局

 \displaystyle{z(x,y)=x+y}

と求まります。すると上で述べたように

 {\rm id}(u+v)=z({\rm id}(u),{\rm id}(v))={\rm id}(u)+{\rm id}(v)

が導かれ、関数  {\rm id} の"加法定理"が示されます。

楕円関数の加法定理

さて、以上の準備のもとに、楕円関数の加法定理を証明してみましょう。

sn関数の加法定理

まずはsn関数についてです。恒等関数の場合と同様に

 \displaystyle{u={\rm sn}^{-1}(x),\ v={\rm sn}^{-1}(y),\ w={\rm sn}^{-1}(z)} とし、関係式

 {\rm (B)} \quad \displaystyle{\int^x_0 \frac{d\xi}{\Delta(\xi)}+\int^y_0 \frac{d\eta}{\Delta(\eta)}=\int^z_0 \frac{d\zeta}{\Delta(\zeta)}}

をみたすような  z=z(x,y) を求めてみましょう。

ただし  \Delta(x)=\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)} です。よって

 \displaystyle{\Delta(x)=\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}=\sqrt{(1-{\rm sn}^2(u))(1-k^2{\rm sn}^2(u))}={\rm cn}(u){\rm dn}(u)}

また、母数  k は記号の簡略化のために省略しておきます。

ここでも式  {\rm (B)} 右辺の  z を増加させない微小変位  x+\delta x,\ y+\delta y を考えます:

\displaystyle{ 0=\frac{\delta x}{\Delta(x)}+\frac{\delta y}{\Delta(y)}}

となります。このような変位を実現する1パラメタ  t のフローは

 \displaystyle{ \delta x=\delta t\Delta(x), \quad \delta y=-\delta t\Delta(y)}

で与えられます。 t-フローの方程式は

 \displaystyle{ \frac{dx}{dt}=\Delta(x), \quad \frac{dy}{dt}=-\Delta(y)}

で与えられます。すると

 \displaystyle{ \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d}{dt}\Delta(x)\\  \quad \ \ \,=\frac{-x\frac{dx}{dt}}{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-k^2x^2}+\frac{-k^2x\frac{dx}{dt}}{\sqrt{1-k^2x^2}}\sqrt{1-x^2}\\  \quad \ \ \,=\frac{-x\Delta(x)}{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-k^2x^2}+\frac{-k^2x\Delta(x)}{\sqrt{1-k^2x^2}}\sqrt{1-x^2}\\  \quad \ \ \,=-x(1-k^2x^2)-k^2x(1-x^2)\\  \quad \ \ \,=x-k^2x+2k^2x^3}

同様にして

 \displaystyle{ \frac{d^2y}{dt^2}=y-k^2y+2k^2y^3}

これらの式を組み合わせて

 \displaystyle{ x\frac{d^2y}{dt^2}-y\frac{d^2x}{dt^2}=-2k^2xy(x^2-y^2)}

また

 \displaystyle{ x^2\left(\frac{dy}{dt}\right)^2-y^2\left(\frac{dy}{dt}\right)^2=(1-k^2x^2y^2)(x^2-y^2)}

これらの式を辺々割り算すれば

 \displaystyle{ \frac{x\frac{d^2y}{dt^2}-y\frac{d^2x}{dt^2}}{x^2\left(\frac{dy}{dt}\right)^2-y^2\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=-\frac{2k^2xy}{1-k^2x^2y^2}}

さらに両辺に  \displaystyle{x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt}} を掛けると

 \displaystyle{ \frac{x\frac{d^2y}{dt^2}-y\frac{d^2x}{dt^2}}{x\frac{dy}{dt}-y\frac{dy}{dt}}=-\frac{2k^2xy}{1-k^2x^2y^2}\left(x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt}\right)}

すると

 \displaystyle{\frac{d}{dt}\log\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dy}{dt}\right)=\frac{d}{dt}\log\left(1-k^2x^2y^2\right)}

よって一般に  t-フローで不変な量が

 \displaystyle{f(z)=\frac{x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}}{1-k^2x^2y^2}=-\frac{x\Delta(y)+y\Delta(x)}{1-k^2x^2y^2}}

で与えられます。いま  x=0 とおくと  f(z)=-z なので

 \displaystyle{z(x,y)=\frac{x\Delta(y)+y\Delta(x)}{1-k^2x^2y^2}}

以上によりsn関数の加法定理を得ます:

 \displaystyle{{\rm sn}(u+v)=\frac{{\rm sn}(u){\rm cn}(v){\rm dn}(v)+{\rm sn}(v){\rm cn}(u){\rm dn}(u)}{1-k^2{\rm sn}^2(u){\rm sn}^2(v)}}

 


cn関数の加法定理

cn関数の定義から

 \displaystyle{{\rm cn}(u+v)=\sqrt{1-{\rm sn}^2(u+v)}\\ \qquad \quad \ \,=\sqrt{1-\left(\frac{{\rm sn}(u){\rm cn}(v){\rm dn}(v)+{\rm sn}(v){\rm cn}(u){\rm dn}(u)}{1-k^2{\rm sn}^2(u){\rm sn}^2(v)}\right)^2}\\ \qquad \quad \ \,=\frac{\sqrt{\{1-k^2{\rm sn}^2(u){\rm sn}^2(v)\}^2-\{{\rm sn}(u){\rm cn}(v){\rm dn}(v)+{\rm sn}(v){\rm cn}(u){\rm dn}(u)\}^2}}{1-k^2{\rm sn}^2(u){\rm sn}^2(v)}}

ここで分子の根号内の量は、以下のような平方で表されます:

 \displaystyle{\{1-k^2{\rm sn}^2(u){\rm sn}^2(v)\}^2-\{{\rm sn}(u){\rm cn}(v){\rm dn}(v)+{\rm sn}(v){\rm cn}(u){\rm dn}(u)\}^2\\=\{{\rm cn}(u){\rm cn}(v)-{\rm sn}(u){\rm sn}(v){\rm dn}(u){\rm dn}(v)\}^2}

これによって根号を外せますが、 v=0 で恒等的に等号が成り立つように符号に注意して、

cn関数の加法定理

 \displaystyle{{\rm cn}(u+v)=\frac{{\rm cn}(u){\rm cn}(v)-{\rm sn}(u){\rm sn}(v){\rm dn}(u){\rm dn}(v)}{1-k^2{\rm sn}^2(u){\rm sn}^2(v)}}

を得ます。

dn関数の加法定理

dn関数の定義から

 \displaystyle{{\rm dn}(u+v)=\sqrt{1-k^2{\rm sn}^2(u+v)}}

cn関数の場合と同様にsn関数の加法定理の式を代入し、

式を整理すると以下のdn関数の加法定理を得ます:

 \displaystyle{{\rm dn}(u+v)=\frac{{\rm dn}(u){\rm dn}(v)-k^2{\rm sn}(u){\rm sn}(v){\rm cn}(u){\rm cn}(v)}{1-k^2{\rm sn}^2(u){\rm sn}^2(v)}}



導関数

sn関数の導関数

sn関数の定義式

 \displaystyle{u={\rm sn}^{-1}(x)=\int^x_0 \frac{d\xi}{\sqrt{(1-\xi^2)(1-k^2\xi^2)}}}

 x について微分すると

 \displaystyle{\frac{du}{dx}=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}}

両辺の逆数をとると

 \displaystyle{\frac{dx}{du}=\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}={\rm cn}(u){\rm dn}(u)}

より

 \displaystyle{\frac{d}{du}{\rm sn}(u)={\rm cn}(u){\rm dn}(u)}

cn関数の導関数

cn関数の定義式から

 \displaystyle{\frac{d}{du}{\rm cn}(u)=\frac{d}{du}\sqrt{1-{\rm sn}^2(u)}=-\frac{{\rm sn}(u)\frac{d}{du}{\rm sn}(u)}{\sqrt{1-{\rm sn}^2(u)}}=-\frac{{\rm sn}(u){\rm cn}(u){\rm dn}(u)}{{\rm cn}(u)}=-{\rm sn}(u){\rm dn}(u) }

より

 \displaystyle{\frac{d}{du}{\rm cn}(u)=-{\rm sn}(u){\rm dn}(u) }

dn関数の導関数

dn関数の定義式から

 \displaystyle{\frac{d}{du}{\rm dn}(u)=\frac{d}{du}\sqrt{1-k^2{\rm sn}^2(u)}=-\frac{k^2{\rm sn}(u)\frac{d}{du}{\rm sn}(u)}{\sqrt{1-k^2{\rm sn}^2(u)}}=-\frac{k^2{\rm sn}(u){\rm cn}(u){\rm dn}(u)}{{\rm dn}(u)}=-k^2{\rm sn}(u){\rm cn}(u) }

より

 \displaystyle{\frac{d}{du}{\rm dn}(u)=-k^2{\rm sn}(u){\rm cn}(u) }


微分方程式

sn関数がみたす微分方程式

sn関数の導関数をさらに微分すると

 \displaystyle{\frac{d^2}{du^2}{\rm sn}(u)=\frac{d}{du}\left\{{\rm cn}(u){\rm dn}(u)\right\}\\ \qquad \quad \,\, =\frac{d}{du}{\rm cn}(u){\rm dn}(u)+{\rm cn}(u)\frac{d}{du}{\rm dn}(u)\\ \qquad \quad \,\, =-{\rm sn}(u){\rm dn}^2(u)-k^2{\rm sn}(u){\rm cn}^2(u)\\ \qquad \quad \,\, =-(1+k^2){\rm sn}(u)+2k^2{\rm sn}^3(u) }

したがって  y={\rm sn}(x)微分方程式

 \displaystyle{\frac{d^2 y}{dx^2}+(1+k^2)y-2k^2y^3=0 }

の解になっています。以下、同様にして

cn関数がみたす微分方程式

 y={\rm cn}(x)微分方程式

 \displaystyle{\frac{d^2 y}{dx^2}+(1-2k^2)y+2k^2y^3=0 }

の解

dn関数がみたす微分方程式

 y={\rm dn}(x)微分方程式

 \displaystyle{\frac{d^2 y}{dx^2}-(2-k^2)y+2y^3=0 }

の解であることがわかります。

Jacobiの楕円関数が現れる物理現象としてKdV方程式の cnoidal解があります。

詳しくは以下の記事を読んでみてください:

pianofisica.hatenablog.com

キーワード:Jacobiの楕円関数、楕円関数の加法定理

プライバシーポリシー