Beta関数とGamma関数の関係

Beta（ベータ）関数の定義からはじめて、いくつかの一見異なる積分表示を導きます。

Beta関数はまた第１種Euler積分ともよばれますが、

第２種Euler積分（Gamma関数）と密接に関係しています。

実際、Beta関数はGamma関数を用いて書き表せることを示します。

Beta関数とGamma関数を結び付ける関係式は、定積分の計算などに力を発揮します。

Gamma関数の基礎的事項については

pianofisica.hatenablog.com

にまとめています。

定義（Beta関数）
Beta関数の性質
Beta関数とGamma関数の関係
Wallis積分

定義（Beta関数）

次の積分で定義された２つの引数をもつ関数をBeta関数といいます：

$\displaystyle{B(p,q)=\int_0^\infty dx\,\frac{x^{q-1}}{(1+x)^{\,p+q}}}$

また $\displaystyle{x=t/(1-t)}$ という変数変換をすることで

$\displaystyle{B(p,q)=\int_0^{1} dt\,t^{q-1}(1-t)^{p-1} }$

としても表すことができます。実際、

$\displaystyle{1+x=1+\frac{t}{1-t}=\frac{1-t+t}{1-t}=(1-t)^{-1}}$

および

$\displaystyle{\frac{dx}{dt}=\frac{(1-t)-t(-1)}{(1-t)^2}=(1-t)^{-2}}$

そして $\displaystyle{t=x/(1+x)}$ より $x\in(0,\infty)$ で $t\in(0,1)$ なので

$\displaystyle{B(p,q)=\int_0^\infty dx\,\frac{x^{q-1}}{(1+x)^{\,p+q}}\\\qquad\ =\int_0^1 dt\,\frac{dx}{dt}\,\frac{x^{q-1}}{(1+x)^{\,p+q}}\\\qquad\ =\int_0^1 dt\,(1-t)^{-2}\,\frac{t^{q-1}}{(1-t)^{q-1}}(1-t)^{\,p+q}\\\qquad\ =\int_0^{1} dt\,t^{q-1}(1-t)^{p-1}}$

となります。さらに、第３の積分表示として

$\displaystyle{B\left(\frac{p+1}{2},\frac{q+1}{2}\right)=2\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta\,\sin^{q}\theta\cos^{p}\theta }$

という関係式もあります。実際、 $t=\sin^2\theta$ と変数変換して

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta\,\sin^{q}\theta\cos^{p}\theta=\int_0^{1}dt\,\frac{1}{2\sin\theta\cos\theta}\sin^{q}\theta\cos^{p}\theta\\\qquad\qquad\qquad\quad\ =\frac12\int_0^{1}dt\,\sin^{q-1}\theta\cos^{p-1}\theta\\\qquad\qquad\qquad\quad\ =\frac12\int_0^{1}dt\,\left(\sin^{2}\theta\right)^{\frac{q-1}{2}}\left(\cos^{2}\theta\right)^{\frac{p-1}{2}}\\\qquad\qquad\qquad\quad\ =\frac12\int_0^{1}dt\,t^{\frac{q-1}{2}}\left(1-t\right)^{\frac{p-1}{2}}\\\qquad\qquad\qquad\quad\ =\frac12\int_0^{1}dt\,t^{\frac{q+1}{2}-1}\left(1-t\right)^{\frac{p+1}{2}-1} }$

より、さいごはBeta関数の２つ目の積分表示を使って第３の積分表示を得ます。

Beta関数の性質

$\displaystyle{B(p,q)=B(q,p)}$

つまり、Beta関数の２つの引数は入れ替えることができます。

これはBeta関数の２つ目の積分表示で $s=1-t$ と変数変換することで示せます：

$\displaystyle{B(p,q)=\int_0^1 t^{q-1}(1-t)^{p-1}dt\\\qquad\ =\int_1^0 (1-s)^{q-1}s^{p-1}(-ds) =\int_0^1 s^{p-1}(1-s)^{q-1}ds =B(q,p)}$

Beta関数とGamma関数の関係

Beta関数とGamma関数を結び付ける（応用上からも）重要な関係式として

$\displaystyle{B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}}$

があります。この関係式は以下のようにして示すことができます：

まずGamma関数を $t=u^2$ と変数変換した

$\displaystyle{\Gamma(p) =\int_0^\infty t^{p-1}e^{-t}dt=\int_0^\infty u^{2p-2}e^{-u^2}(2u)du}$

と、同様に $s=v^2$ とした

$\displaystyle{\Gamma(q) =\int_0^\infty s^{q-1}e^{-s}ds=\int_0^\infty v^{2q-2}e^{-v^2}(2v)dv}$

の両辺を互いに掛け合わせて

$\displaystyle{\Gamma(p)\Gamma(q) =4\int_0^\infty du\int_0^\infty dv \,u^{2p-1}v^{2q-1}e^{-u^2-v^2}}$

とします。ここで変数変換

$u=r\cos\theta\\ v=r\sin\theta$

を考えます。ただし $(u,v)$ 積分が $(u,v)$ -平面の第１象限を覆っていたことから

$(r,\theta)$ 積分の積分範囲はそれぞれ $r\in(0,\infty)$ 、 $\theta\in(0,\pi/2)$ です。

面積要素の変換則 $dudv=rdrd\theta$ に注意すると、 $r$ 積分と $\theta$ 積分が分離されて

$\displaystyle{\Gamma(p)\Gamma(q) =4\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta\,\sin^{2q-1}\theta \cos^{2p-1}\theta\int_0^\infty dr \,r\,r^{2p+2q-2}e^{-r^2}}$

となります。ここでBeta関数の第３の積分表示を使うと $\theta$ 積分は

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta\,\sin^{2q-1}\theta \cos^{2p-1}\theta=\frac{1}{2}B(p,q)}$

であることがわかります。

そして $r$ 積分ですが、 $r^2=\rho$ とするとGamma関数であることがわかります：

$\displaystyle{\int_0^\infty dr \,r\,r^{2p+2q-2}e^{-r^2}=\frac{1}{2}\int_0^\infty d\rho\,\rho^{p+q-1}e^{-\rho}=\frac{1}{2}\Gamma(p+q)}$

以上より $\Gamma(p)\Gamma(q)=B(p,q)\Gamma(p+q)$ が成り立ち、関係式を得ます。

Wallis積分

Beta関数の定積分への応用の１例として次のWallis（ウォリス）積分について述べます：

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^p\theta \,d\theta = \begin{cases}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}\quad (p=2n) \\ \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \quad (p=2n+1) \end{cases}}$

ここで $n$ は自然数とします。

この関係式は以下のようにして示すことができます：

まずBeta関数の第３の積分表示から

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{p}\theta\,d\theta=\frac12B\left(\frac{1}{2},\frac{p+1}{2}\right) }$

です。この右辺に、上で求めたBeta関数とGamma関数の関係式を用います：

$\displaystyle{B\left(\frac{1}{2},\frac{p+1}{2}\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{p}{2}+1\right)} }$

さいごに

pianofisica.hatenablog.com

で示した

$\displaystyle{\Gamma(n+1)=n!\\ \Gamma\left(n+\frac12\right)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi}\\ \Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi} }$

により、 $p=2n$ のとき

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n}\theta \,d\theta =\frac12\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1\right)}\\\qquad\qquad\quad\,=\frac{1}{2}\frac{1}{n!}\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi}^2=\frac{(2n)!}{(2n)!!^2}\frac{\pi}{2}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}$

同様にして $p=2n+1$ のとき

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1}\theta \,d\theta =\frac12\frac{\Gamma\left(n+1\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(n+\frac{3}{2}\right)}\\\qquad\qquad\quad\,=\frac{n!}{2}\frac{2^{2n+2}(n+1)!}{(2n+2)!\sqrt{\pi}}\sqrt{\pi}\\\qquad\qquad\quad\,=\frac{n!}{2}\frac{2^{2n+2}(n+1)!}{2^{n+1}(n+1)!(2n+1)!!}=\frac{2^n\,n!}{(2n+1)!!}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}}$

となります。

キーワード：Beta関数、Gamma関数、Euler積分、Wallis積分